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第一部分 代数 2

来源: 编辑:硕博编辑3 发布时间:2020/1/3 9:27:31

(2)交集

由集合 与集合 的所有公共元素所组成的集合,叫做 与 的交集,记作 。由交集的定义知道: 。
(3)并集

把集合 与集合 的所有元素合并在一起所组成的集合,叫做 与 的并集,记作
 。由并集的定义知道: , 。
(4)补集:
 全集:在研究集合与集合之间关系的问题中,这些集合常常都是某一个给定的集合的子集,这个给定的集合叫做全集,用符号 表示。
 补集:已知全集 ,集合 ,由 中所有不属于 的元素组成的集合,叫做集合 在集合 中的补集,记作 (有的书上记作 )。

由补集的定义知道: , 。
或者: , 。
 
一、 简易逻辑

 

一个数学命题都有条件和结论两部分,如果把条件和结论分别用 、 表示,那么命
题可以写成“如果 成立,那么 成立”,或简写成“若 ,则 ”。
如果 成立,那么 成立,即 ,这时我们就说条件 是 成立的充分条件。
如果 成立,那么 成立,即 ,这时我们就说条件 是 成立的必要条件。
如果 既是 成立的充分条件,又是 成立的必要条件,即既有 ,又有
 ,这时我们就说条件 是 成立的充分必要条件,简称充要条件。

典型例题

例1 用列举法可以把集合 表示为(   )
(A)     
(B)      
(C)     
(D) 
解:选(D)
分析:集合有两种常用的表示方法,一种是“列举法”,另一种是“描述法”。
所谓“列举法”就是将集合中的元素一一列举出来,要求是既不能重复又不能遗漏。
它的格式是这样的: ,而描述法的关键在于用文字语言或符号语言对集合中的所有元素的共有特性进行描述,它的格式是这样的: 
 ,本题是要求将用“描述法”表示的集合,
 转化为用“列举法”表示的集合。
 是一个一元二次方程,用十字相乘法解此方程,
 ,得到方程的两个解, , 。故
 
注意:当 为任意常数且 时,称 为任意的一元二次方程,解一元二次方程的一般方法是利用求根公式 ,在本题中用十字相乘法解此方程显然比用求根公式更灵活更方便。
例2 用列举法可以把集合 表示为(   )
(A)             
(B) 
(C)      
(D) 
解:选(C)
分析:凡能被2整除的整数就称为“偶数”。偶数集合既可以用“描述法”表示也可以用“列举法”表示。故有 偶数 ,
观察例2可知,所求集合为“小于或等于10的非负偶数”即 
例3 由全体奇数所组成的集合是(   )
(A)     
(B) 
(C)       
(D) 
解:选(C)
分析:凡不能被2整除的整数就称为“奇数”。
奇数集合可以用不同的“描述法”表示如下,
奇数 
注意:“ ”表示整数集合,而“ ”表示自然数集合,且 
奇数集合也可以用不同的“列举法”表示如下,
奇数 
例3 由平方为1的数所组成的集合是(   )
(A)     
(B)    
(C)     
(D) 
解:选(D)
分析:设平方为1的数为 ,则 , 
故,由平方为1的数所组成的集合是 
例4  是有理数是 是实数的(   )
(A)充分但非必要条件       
(B)必要但非充分条件 
(C)充要条件               
(D)非充分非必要条件 
解:选(A)
分析:有理数 实数,有理数必定为实数,而实数不一定为有理数。
例5“ 全不为零”是“ 为直线方程”的(   )
(A)充分但非必要条件       
(B)必要但非充分条件 
(C)充要条件               
(D)非充分非必要条件 
例6 用适当的符号( , , , , )填空:
(1) ;          (2) ;
(3) ;   (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ;     (8) ;
(9) ;          (10) ;
(11) ;   (12) 
解:符号“ ”表示“属于”; 符号“ ”表示“不属于”,
符号“ ”与“ ”是表示“元素”与“集合”之间关系的两个符号,在应用这两个关系符号时应当注意:该符号左边必须是“元素”,而右边必须是“集合”。
符号“ ”表示“真包含于”; 符号“ ”表示“真包含”,
符号“ ”、 “ ”与“ ”是表示“集合”与“集合”之间关系的三个符号,在应用这三个关系符号时应当注意:该符号左边与右边都必须是“集合”。
( , , , , )
(1) ;           (2) ;
(3)   ;   (4) ;
(5)   ; (6) ;
(7)   ;     (8) ;
(9) ;          (10) ;
(11) ;   (12) 
注意:不含有任何元素的集合称为空集,记为 ,空集还可以表示为 ,也即
空集 并且规定“空集”是“任意集合”的真子集,如果设 为任意集合,则必定有 ,或 
“ ”表示“自然数”集合;“ ”表示“整数”集合;“ ”表示“实数”集合。
例7 设 , ,则(    )
( , , , , )
(A)              
(B) 
(C)             
(D)   
解:选(D)
分析: 表示“元素”,  表示“集合”, 
显然有 ,进一步有   
例8 设 , , ,则 是(   )
(A)                  
(B) 
(C)                       
(D) 
解:选(B)
分析:“ ”是集合的并集运算符号;“ ”是集合的交集运算符号;这两个符号的两边都必须是“集合”,设有任意两个集合, 与 ,则“ ”表示两个集合的并集,并集中的元素应当至少以以属于 集或 集中的一个。而“ ”表示两个集合的交集,交集中的元素应当同时以属于 , 两个集合。
注意到, ,故 ,故,
 
例9 写出集合 的所有子集,并指出其中有几个非空真子集:
解:集合 共有下列8个子集,其中有6个非空真子集。
 ; ; ; 
一般地,设非空集合 中含有 个元素, ,则 共有 个子集,其中有 个非空真子集。
例10 设 , ,求:(1) ,(2) 
解:在 数轴上画出 与 的图像(略),观图可知,
(1) 或者, 称“ ”为以0为左端点,5为右端点的左闭右开区间。简称“半闭半开区间”。
(2) 
例11 设 , ,
 , ,求 , , 
解:当 与 是不全为零的常数, 为任意常数时,方程 ,表示一族直线,故 可以看作是4条直线分别构成的4个集合。求 ,实际上就是要求直线 与直线 的交点,并将其交点用“集合”来表示。请注意:平面上两条直线的位置关系有三种,1)相交,此时有唯一交点,即“二元一次方程组”只有唯一一组解;
2)重合,此时有无穷多个交点,即“二元一次方程组”有无穷多组解;
3)平行,此时没有交点,即“二元一次方程组”无解。
求解“二元一次方程组”可利用“加减消元法”或“代入消元法”。
具体求解方程组的过程在此省略了,最后求出:
  ; ,或 ; 或 。
即直线 与直线 相交;直线 与直线 平行;直线 与直线 重合。
例12 设 , ,用 , 表示 。
解:由平面几何知识可知,“菱形”是四边相等的“平行四边形”,而“矩形”是有一个内角等于 的“平行四边形”,故 ,即 。
“平行四边形”是有一组对边平行且等长的“四边形”。
平面上,四条线段不交叉地首尾相接构成的封闭图形称为“四边形”,
“凸四边形”的四个内角都介于 到 之间。
例13 设 , ,求 
解:设全集用 来表示,若 ,为实数集合,则集合 相对于全集 的补集就记为 ,注意:还可以将集合 相对于全集 的补集记为 ,也即 
类似地,有 
在数轴 上画出集合 与 的图像(略),观图可知:
 , ,
 , 
例14方程组 的解集是()
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
答案:C。
分析:解方程组,可得两个解( 的值可以互换)。此方程组 是一个二元二次方程组,可以用消元求解,  ,由(1)得: (3),
把(3)代入(2),得 , , ,
用十字相乘法对二次三项式 因式分解, ,
故 。再把 与 分别代入(3)式。求得: 

在平面解析几何中,方程 表示一条直线,而方程 表示一条双曲线,
如果把 ,变化为 ,它就是一次函数又叫做线性函数,其几何含义就表示一条直线,而如果把方程 转化为 ,那么,它就是反比例函数,几何含义表示一条双曲线。两个方程联立为方程组,求解这个方程组,就是要求直线与双曲线的交点,经计算后,求出它们的两个交点 , 。
注意:(1)上图中的原点坐标不是常规意义下的 ,而是特殊意义下的 。
(2)上图中没有画出两个数轴的箭头,但这并不影响解题。
例15三角形全等是三角形面积相等的()
(A)充分但不必要条件
(B)必要但不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
答案:A。
分析:如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积必定相等;但是,反之,从两个三角形面积相等不能推出这两个三角形全等。
例16 是直线 过原点的()
(A)充分但不必要条件
(B)必要但不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
答案:C。
分析:设命题 为“ ”,命题 为“直线 过原点”。因为当 时,
直线方程变为 ,图形一定经过原点,即 成立。当 过原点时,
把原点坐标 代入直线方程,得 , ,即 成立。
注意:讨论这类题目,要考察 这两个式子是否都成立,如果只看一个式子,就有可能会出错。

例17求证: 是等边三角形的充要条件是 ,其中, 是三边之长。
证明:(1)充分性:
如果 , ,
 ,
 ,
 , , 。
故, 是等边三角形。
(2)必要性:
如果 是等边三角形,那么 ,所以,
 ,
 ,
 ,
 , 。
综上所述:  是等边三角形的充要条件是

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