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第一部分 代数 3

来源: 编辑:硕博编辑3 发布时间:2020/1/3 9:28:01

高中起点升本、专科数学(理科)精讲2
第二章  函数
内容提要
一、函数
1.函数的概念
(1)函数的定义
如果在某变化过程中有两个变量 ,并且对于 在某个范围的每一个确定的值,
按照某个对应法则, 都有唯一确定的值的它对应,那么 就是 的函数, 叫做自变量。
可以记作 (其中 表示对应法则)。
自变量 的取值范围叫做函数的定义域,与 的值对应的 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
(2)函数的表示法
(i)解析法:用等式表示两个变量间的函数关系的方法。
(ii)列表法:列表表示两个变量间的函数关系的方法。
(iii)图象法:用图象表示两个变量间的函数关系的方法。
(3)函数的性质
(i)函数的奇偶性。
如果对于函数 的定义域内的任意一个 ,都有 ,那么称 是奇函数。如果对于函数 的定义域内的任意一个 ,都有 ,那么称 是偶函数。奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于 轴对称。
(ii)函数的单调性。
在一个区间上,如果对于自变量 的任意两个值 ,当 时,都有
 ,那么称函数 在此区间上是增函数;如果当 时,都有
 ,那么称函数 在此区间上是减函数。
如果函数 在某个区间上是增函数或减函数,就说 在此区间上具有单调性,此区间叫做 的单调区间。
(4)反函数的概念
如果对于函数 值域内的每一个确定的值 ,自变量 都有一个确定的值 与 对应,那么,就可以得到一个以 为自变量,以对应的 值为函数值的函数,这个函数叫做原来函数的反函数,记作 ,习惯上用 表示自变量, 表示因变量,
把函数 的反函数记作 。
 的定义域、值域分别是 的值域、定义域。
2.正比例函数、一次函数、反比例函数
函数 ( 为常数,且 )叫做正比例函数。函数 叫做一次
函数( 是常数,且 )。函数 (常数 )叫做反比例函数。
(1)正比例函数
正比例函数 的图象是经过点 和点 的直线族,它有下面的几何性质:
(i)当 时,它的图象在第一、第三象限内,且 随着 的增大而增大;当
 时,它的图象在第二、第四象限内,且 随着 的增大而减小。
(ii)由于 的大小不同,直线族对于 轴的倾斜程度也不同, 越小,直线越靠近 轴; 越大,直线越靠近 轴。
(2)一次函数
一次函数 的图象是经过 点而平行于直线 的一条直线,它具有如下性质:
(i)当 时, 随着 的增大而增大;当 时 随着 的增大而减小。
 (ii) 越小,直线越靠近经过点 的 轴的平行线; 越大,直线越离开
经过点 的 轴的平行线,或者,直线越靠近 轴。
(3)反比例函数
反比例函数 ,(常数 )的图象叫做双曲线,它具有下面性质:
(i)当 时,函数图象的两个分支分别分布在第一、第三象限内,且每一个分支, 随着 的增大而减小;当 时,两个分支分别分布在第二、第四象限内,且每一个分支, 随着 的增大而增大。
(ii)两个分支都无限接近但永远不能达到 轴和 轴。

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